고유 공간
이 단원에서는 행렬의 고유 값과 고유 벡터를 계산하는 함수들에 대해 다룹니다. 실수 위 대칭, 비대칭, 일반회된 준대칭, 일반화된 비대칭 복소수 위 에르미트, 일반화된 준 에르미트, 그리고 행렬들의 풀이 기능들을 제공합니다. 고유 값들은 고유 벡터들과 함께 계산되거나 단독으로 계산될 수도 있습니다. 에르미트와 실수 대칭 행렬을 계산하는 알고리즘들은 대칭 bidigonalization 과 QR 감소을 이용합니다. 비대칭 알고리즘은 Francis-QR 이중 전이 방법을, 일반화된 비대칭 알고리즘은 Moler와 Strwart의 QZ 방법을 사용합니다.
실수 위 대칭 행렬
실수 위 대칭 행렬의 고유 값, 벡터 문제는 bidiagonalization과 QR-감소 방법을 사용합니다. 이 방법들은 Golub & van Loan, section 8.3 에 기술되어 있습니다. 고유 값은 \(\epsilon ||A||_2\) 의 절대 정확도를 가집니다. \(\epsilon\) 은 계산기 정밀도입니다.
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type gsl_eigen_symm_workspace
실수 위 대칭 행렬의 고유 값을 계산하기 위한 내부 인자들을 가지고 있는 작업 공간입니다.
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gsl_eigen_symm_workspace *gsl_eigen_symm_alloc(const size_t n)
n-by-n크기의 실수 위 대칭 행렬의 고유값 문제를 풀기위한 작업 공간을 할당합니다. 작업 공간의 크기는 \(O(2n)\) 입니다.
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void gsl_eigen_symm_free(gsl_eigen_symm_workspace *w)
할당된 작업 공간
w를 해제합니다.
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int gsl_eigen_symm(gsl_matrix *A, gsl_vector *eval, gsl_eigen_symm_workspace *w)
대칭 행렬
A의 고유값을 계산합니다. 함수를 호출과정에서 반드시 적절한 크기의 작업 공간을w에 전해주어야 합니다. 행렬A의 대각, 하삼각 성분들은 계산과정에서 수정됩니다. 반면, 상삼각 성분들은 참조되지 않습니다. 고유 값들은 벡터eval에 무작위 순서로 저장됩니다.
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type gsl_eigen_symmv_workspace
실수 대칭 행렬의 고유 값과 고유 벡터를 계산하기 위한 내부 인자들을 가지고 있는 작업 공간입니다.
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gsl_eigen_symmv_workspace *gsl_eigen_symmv_alloc(const size_t n)
크기
n-by-n의 실수 대칭 행렬의 고유 값, 벡터 문제를 풀기 위한 작업공간을 할당합니다. 공간의 크기는 \(O(4n)\) 입니다.
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void gsl_eigen_symmv_free(gsl_eigen_symmv_workspace *w)
w가 가르키는 작업 공간 영역을 해제합니다.
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int gsl_eigen_symmv(gsl_matrix *A, gsl_vector *eval, gsl_matrix *evec, gsl_eigen_symmv_workspace *w)
실수 대칭 행렬
A의 고유값, 고유 벡터를 계산합니다. 반드시, 함수 호출과정에서 적절한 크기의 작업 공간을w에 제공해 주어야합니다. 행렬A의 대각, 하삼각 성분들은 계산과정에서 수정됩니다. 반면, 상삼각 성분들은 참조되지 않습니다. 고유값들은 벡터eval에 무작위 순서로 저장됩니다. 대응 되는 고유 벡터들은 행렬evec의 열에 고유값과 동일 순서로 저장됩니다. 예를 들어, 행렬의 첫번째 열은 첫번째 고유값에 해당하는 고유 벡터입니다. 계산된 고유 벡터들은 서로 직교하고 크기 1로 정규화 되어있습니다.
복소수 위 에르미트 행렬
에르미트 행렬의 계산은 대칭 bidiagonalization과 QR-감소 방법을 사용합니다.
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type gsl_eigen_herm_workspace
에르미트 행렬의 고유 값을 계산하기 위한 내부 인자들을 가지고 있는 작업 공간입니다.
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gsl_eigen_herm_workspace *gsl_eigen_herm_alloc(const size_t n)
n\(\times\)n크기의 복소수 에르미트 행렬의 고유 값을 찾기 위한 작업 공간을 메모리에 할당합니다. 공간의 크기는 \(O(3n)\) 입니다.
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void gsl_eigen_herm_free(gsl_eigen_herm_workspace *w)
T:data:w 가 가르키는 작업 공간 영역을 해제합니다.
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int gsl_eigen_herm(gsl_matrix_complex *A, gsl_vector *eval, gsl_eigen_herm_workspace *w)
복소수 에르미트 행렬
A의 고유 값을 계산합니다. 반드시, 함수 호출과정에서 적절한 크기의 작업 공간을w에 제공해 주어야합니다. 행렬A의 대각 성분과 하 삼각 성분은 계산 과정에서 수정됩니다. 하지만, 상 삼각 성분은 계산 과정에서 수정되지 않습니다. 대각 성분의 허수부는 0으로 간주되고 사용되지 않습니다. 고유 값들은 벡터eval에 무작위로 저장됩니다.
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type gsl_eigen_hermv_workspace
에르미트 행렬의 고유 값과 고유 벡터를 계산하기 위한 내부 인자들을 가지고 있는 작업 공간입니다.
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gsl_eigen_hermv_workspace *gsl_eigen_hermv_alloc(const size_t n)
n\(\times\)n크기의 복소수 에르미트 행렬의 고유 값과 고유 벡터를 찾기 위한 작업 공간을 메모리에 할당합니다. 작업 공간의 크기는 \(O(5n)\) 입니다.
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void gsl_eigen_hermv_free(gsl_eigen_hermv_workspace *w)
w가 가르키는 작업 공간 영역을 해제합니다.
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int gsl_eigen_hermv(gsl_matrix_complex *A, gsl_vector *eval, gsl_matrix_complex *evec, gsl_eigen_hermv_workspace *w)
복소수 에르미트 행렬
A의 고유 벡터와 고유 값을 계산합니다. 반드시, 함수 호출과정에서 적절한 크기의 작업 공간을w에 제공해 주어야합니다. 행렬A의 대각 성분과 하 삼각 성분은 계산 과정에서 수정됩니다. 대각 성분의 허수부는 0으로 간주되며 계산 과정에서 사용되지 않습니다. 고유 값들은eval이 가르키는 벡터에 무자구이 순서로 저장됩니다. 이 고유 값들에 대응되는 고유 벡터들은 행렬evec에 열 벡터로 저장됩니다. 예로 행렬evec의 첫번째 열 벡터는eval의 첫번째 값에 대응되는 고유 벡터입니다. 이 고유 벡터들은 서로 직교하고 크기 1로 정규화 되어 있습니다.
실수 위 비대칭 행렬
실수 비대칭 행렬 \(A\) 의 고유 값과 고유 벡터들을 찾는 문제는 슈어 분해(Schur decomposition)를 이용해 계산할 수 있습니다.
\(Z\) 는 슈어 벡터들의 직교 행렬, \(T\) 은 Schur 형태로 Quasi-상 삼각 행렬입니다. Quasi-상 삼각 행렬은 블럭 상 삼각 행렬로 대각 성분이 \(1 \times 1\) 이나 \(2 \times 2\) 크기의 블럭 행렬인 행렬을 의미합니다. 이 때, \(2 \times 2\) 크기 행렬의 고유 값들은 \(A\) 행렬의 고유 값들의 켤례 복소수입니다. 이 과정에서 사용되는 알고리즘에는 이중 전이 Francis 방법(double-shiftted Francis method)이 사용됩니다.
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type gsl_eigen_nonsymm_workspace
비대칭 행렬의 고유 값 문제를 풀기 위한 내부 인자들을 가지고 있는 작업 공간입니다.
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gsl_eigen_nonsymm_workspace *gsl_eigen_nonsymm_alloc(const size_t n)
n\(\times\)n크기의 실수 비대칭 행렬의 고유 값을 찾기 위한 작업 공간을 메모리에 할당합니다. 공간의 크기는 \(O(2n)\) 입니다.
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void gsl_eigen_nonsymm_free(gsl_eigen_nonsymm_workspace *w)
w가 가르키는 작업 공간 영역을 해제합니다.
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void gsl_eigen_nonsymm_params(const int compute_t, const int balance, gsl_eigen_nonsymm_workspace *w)
gsl_eigen_nonsymm()함수를 사용하기 위한 기본 계수들을 설정합니다.compute_t가 1로 정해지면 슈어 형태 \(T\) 가gsl_eigen_nonsymm()를 이용해 계산됩니다. 0으로 정해지면 \(T\) 가 0인 상황입니다. 완전한 슈어 형태 \(T\) 의 계산은 근사적으로 1.5-2 Flops의 시간을 필요로 합니다.balance가 1로 정해지면 고유 값을 계산하기 전 군형 변환이 행렬에 적용됩니다. 이 변환은 행렬의 행과 열들이 comparable 노름을 가지도록 만들어 더 정확한 고유 값들을 얻을 수 있습니다. 더 자세한 내용은 Balancing 을 참고할 수 있습니다. 유의할 점은 균형 변환이 슈어 벡터들의 직교성을 보존하지 않는다는 점입니다. 따라서gsl_eigen_nonsymm_Z()를 이용해 슈어 벡터를 계산하고자 한다면, 원본 행렬의 슈어 벡터가 아니라 균형 변환된 행렬의 슈어 벡터를 얻게됩니다. 이 두 벡터들 사이의 관계는 다음과 같습니다.\[T = Q^T D^{-1} A D Q\]Q는 행렬로 균형 변환된 행렬에 대한 슈어 벡터들을 나타냅니다.D는 균형 변환에 대응되는 행렬입니다.gsl_eigen_nonsymm_Z()함수는 다음을 만족하는 행렬Z를 계산합니다.\[T = Z^{-1} A Z\]\(Z = D Q\) 를 의미합니다. \(Z\) 는 직교하지 않음을 유의해야 합니다. 이러한 이유로 균형 변환을 포함하면 더 정확한 고유 값들을 계산할 수 있음에도 불구하고 기본 설정에서 제거하고 선택 사항으로 제공합니다.
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int gsl_eigen_nonsymm(gsl_matrix *A, gsl_vector_complex *eval, gsl_eigen_nonsymm_workspace *w)
실수 위 비대칭 행렬
A의 고유 값을 계산합니다. 계산된 고유 값들은 벡터eval에 저장됩니다. \(T\) 값이 필요한 경우, 해당 값들은 꼐산이 끝난 후 행렬A의 대각 성분을 포함한 상 삼각 부분에 저장됩니다. 계산 후A의 대각 성분은 \(1 \times 1\) 크기의 고유 값과 고유 값이A고유 값의 켤레 복소수 값을 가지는 크기 :math:` 2 times 2` 행렬들을 가지고 있습니다.A의 나머지 부분들의 값은 계산 과정에서 훼손됩니다. 드믄 일이지만 이 함수가 모든 고유 값을 찾지 못하는 경우가 있습니다. 이 경우 오류 값이 반환되고 수렴한 고유 값들의 숫자가w -> n_evals에 저장됩니다. 수렴된 고유 값들은eval에 앞 자리부터 채워져 저장됩니다.
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int gsl_eigen_nonsymm_Z(gsl_matrix *A, gsl_vector_complex *eval, gsl_matrix *Z, gsl_eigen_nonsymm_workspace *w)
gsl_eigen_nonsymm()와 동일합니다. 다만 추가로 슈어 벡터를 계산하고Z에 저장한다는 차이가 있습니다.
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type gsl_eigen_nonsymmv_workspace
비대칭 행렬의 고유 값과 고유 벡터를 계산하기 위한 내부 인자들을 가지고 있는 작업 공간입니다.
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gsl_eigen_nonsymmv_workspace *gsl_eigen_nonsymmv_alloc(const size_t n)
n\(\times\)n크기의 실수 비대칭 행렬의 고유 값과 고유 벡터를 계산하기 위한 작업 공간을 메모리에 할당합니다. 공간의 크기는 \(O(5n)\) 입니다.
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void gsl_eigen_nonsymmv_free(gsl_eigen_nonsymmv_workspace *w)
w가 가르키는 작업 공간 영역을 해제합니다.
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void gsl_eigen_nonsymmv_params(const int balance, gsl_eigen_nonsymm_workspace *w)
gsl_eigen_nonsymmv()을 사용하기 위한 계수들을 설정합니다.balance가 1 로 정해지면 행렬에 균형 변환이 적용됩니다. 자세한 내용은gsl_eigen_nonsymm_params()를 참고하길 바랍니다. 균형 변환이 슈어 벡터들의 직교성을 보존하지 않기 때문에 기본적으로 비활성화 되어 있습니다.
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int gsl_eigen_nonsymmv(gsl_matrix *A, gsl_vector_complex *eval, gsl_matrix_complex *evec, gsl_eigen_nonsymmv_workspace *w)
\(n \times n\) 크기의 실수 위 비대칭 행렬
A의 고유 값과 고유 벡터들을 계산합니다. 먼저gsl_eigen_nonsymm()를 호출해 고유 값, 슈어 형태 \(T\) 그리고 슈어 벡터를 계산합니다. 그 다음 \(T\) 의 고유 값을 계산하고 슈어 벡터들을 이용해 이들을 역변환합니다. 계산 과정에서 슈어 벡터들의 값은 유지되지 않습니다. 하지만, 함수gsl_eigen_nonsymmv_Z()를 이용해 저장할 수 있습니다. 계산이 끝난 후A의 상 삼각부는 슈어 형태 \(T\) 와 같습니다.gsl_eigen_nonsymm()에서 계산이 실패하면 고유 벡터들이 계산되지 않고 오류 값이 반환됩니다.
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int gsl_eigen_nonsymmv_Z(gsl_matrix *A, gsl_vector_complex *eval, gsl_matrix_complex *evec, gsl_matrix *Z, gsl_eigen_nonsymmv_workspace *w)
gsl_eigen_nonsymmv()와 동일합니다. 다만 슈어 벡터를Z에 저장합니다.
실수 위 일반화된 대칭-정부호 고유계
실수 위에서 일반화된 대칭-정부호 행렬의 고유 문제는 다음과 같은 고유 값과 고유 벡터들을 계산하는 문제입니다.
\(A\) 와 \(B\) 는 대칭 행렬이고, \(B\) 는 양의 정부호 행렬입니다. 이 문제는 \(B\) 에 춈스키 분해를 적용해 표준적인 대칭 행렬의 고유 값 문제로 바꿀 수 있습니다.
따라서, 원래 문제는 대칭 행렬 \(C = L^{-1} A L^{-T}\) 와 \(y = L^T x\) 에 대해 \(C y = \lambda y\) 형태로 표현할 수 있습니다. 이 경우 표준적인 대칭 행렬의 고유 문제 풀이 기능을 행렬 \(C\) 에 적용할 수 있습니다. 해당 계산 결과로 나온 고유 값들을 역변환해 원래 행렬의 고유 값들을 찾을 수 있습니다. 일반화된 대칭-정부호 행렬의 고유 값과 고유 벡터들은 항상 실수 있습니다.
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type gsl_eigen_gensymm_workspace
일반화된 대칭 행렬의 고유 값 문제를 풀기 위한 내부 인자들을 가지고 있는 작업 공간입니다.
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gsl_eigen_gensymm_workspace *gsl_eigen_gensymm_alloc(const size_t n)
n\(\times\)n크기의 일반화된 대칭-정부호 행렬의 고유 값을 찾기 위한 작업 공간을 메모리에 할당합니다. 공간의 크기는 \(O(2n)\) 입니다.
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void gsl_eigen_gensymm_free(gsl_eigen_gensymm_workspace *w)
w가 가르키는 작업 공간 영역을 해제합니다.
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int gsl_eigen_gensymm(gsl_matrix *A, gsl_matrix *B, gsl_vector *eval, gsl_eigen_gensymm_workspace *w)
일반화된 대칭-정부호 행렬쌍 (
A,B)의 고유 값을 계산해eval에 저장합니다. 이 함수는 위에 기술된 일반 대칭 행렬 문제로 변환하는 방법을 사용합니다. 계산후B에는B의 춈스키 분해가 저장되고A는 본래 값을 잃습니다.
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type gsl_eigen_gensymmv_workspace
일반화된 대칭 행렬의 고유 값과 고유 벡터를 계산하기 위한 내부 인자들을 가지고 있는 작업 공간입니다.
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gsl_eigen_gensymmv_workspace *gsl_eigen_gensymmv_alloc(const size_t n)
n\(\times\)n크기의 실수 일반화된 대칭-정부호 행렬의 고유 값과 고유 벡터를 계산하기 위한 작업 공간을 메모리에 할당합니다. 공간의 크기는 \(O(4n)\) 입니다.
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void gsl_eigen_gensymmv_free(gsl_eigen_gensymmv_workspace *w)
w가 가르키는 작업 공간 영역을 해제합니다.
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int gsl_eigen_gensymmv(gsl_matrix *A, gsl_matrix *B, gsl_vector *eval, gsl_matrix *evec, gsl_eigen_gensymmv_workspace *w)
실수 위 일반화된 대칭-정부호 행렬 쌍(
A,B)의 고유 값과 고유 벡터들을 계산합니다. 계산된 고유 값과 벡터들은 각각eval과evec에 저장됩니다. 계산된 고유 벡터들은 서로 직교하고 크기 1로 정규화 되어있습니다. 계산 후B에는B의 춈스키 분해가 저장되어 있고A는 계산 과정에서 훼손됩니다.
복소수 위 일반화된 에르미트-정부호 고유계
복소수 위 일반화딘 에르미트-정부호 행렬의 고유 값 문제는 다음을 만족하는 고유 값 \(\lambda\) 와 고유 벡터 \(x\) 를 찾는 문제입니다.
\(A\) 와 \(B\) 는 에르미트 행렬이고, \(B\) 는 추가로 정부호 행렬이기도 합니다. 실수 위와 비슷하게 이 문제는 에르미트 행렬 \(C = L^{-1} A L^{-\dagger}\) 와 \(y = L^{\dagger} x\) 로 \(C y = \lambda y\) 형태로 변환할 수 있습니다. 에르미트 고유 문제의 표준 해결 방법을 \(C\) 에 적용해 이 문제를 풀수 있고, 풀이로 나온 고유 벡터들에 역변환을 적용해 원래 문제의 해답을 얻을 수 있습니다. 일반화된 에르미트-정부호 고유 문제의 답은 언제나 실수입니다.
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type gsl_eigen_genherm_workspace
일반화된 에르미트-정부호 행렬의 고유 값 문제를 풀기 위한 내부 인자들을 가지고 있는 작업 공간입니다.
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gsl_eigen_genherm_workspace *gsl_eigen_genherm_alloc(const size_t n)
복소수 위
n\(\times\)n크기의 일반화된 에르미트-정부호 행렬의 고유 값을 찾기 위한 작업 공간을 메모리에 할당합니다. 공간의 크기는 \(O(3n)\) 입니다.
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void gsl_eigen_genherm_free(gsl_eigen_genherm_workspace *w)
w가 가르키는 작업 공간 영역을 해제합니다.
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int gsl_eigen_genherm(gsl_matrix_complex *A, gsl_matrix_complex *B, gsl_vector *eval, gsl_eigen_genherm_workspace *w)
복소수 위에서 일반화된 에르미트-정부호 행렬 쌍 (
A,B)의 고유 값을 계산해eval에 저장합니다. 사용하는 방법은 위에 기술되어 있습니다. 계산 후B에는B의 춈스키 분해가 저장되고A는 계산과정에서 훼손됩니다.
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type gsl_eigen_genhermv_workspace
일반화된 에르미트-정부호 행렬의 고유 값가 고유 벡터 문제를 풀기 위한 내부 인자들을 가지고 있는 작업 공간입니다.
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gsl_eigen_genhermv_workspace *gsl_eigen_genhermv_alloc(const size_t n)
복소수 위
n\(\times\)n크기의 일반화된 에르미트-정부호 행렬의 고유 값과 고유 벡터를 찾기 위한 작업 공간을 메모리에 할당합니다. 공간의 크기는 \(O(5n)\) 입니다.
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void gsl_eigen_genhermv_free(gsl_eigen_genhermv_workspace *w)
w가 가르키는 작업 공간 영역을 해제합니다.
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int gsl_eigen_genhermv(gsl_matrix_complex *A, gsl_matrix_complex *B, gsl_vector *eval, gsl_matrix_complex *evec, gsl_eigen_genhermv_workspace *w)
복소수 위 일반화된 에르미트-정부호 행렬 쌍 (
A,B)의 고유 값과 고유 벡터를 계산하고 이들을 각각eval와evec에 저장합니다. 계산된 고유 벡터들은 서로 직교하고 크기 1로 정규화 되어있습니다. 계산 후B에는B의 춈스키 분해가 저장되고A는 계산과정에서 훼손됩니다.
실수 위 일반화된 비대칭 고유계
주어진 두 정사각 행렬 ( \(A\), \(B\) ) 에 대해, 일반화된 비대칭 계의 풀이는 다음을 만족하는 고유 값 \(\lambda\) 와 고유 벡터 \(x\) 를 찾는 문제입니다.
고유 값 \(mu\) 와 고유 벡터 \(y\) 에 대해 다음과 같은 형식도 가능합니다.
이 두 문제는 \(\lambda = 1/\mu\) 식을 이용하면 동일한 식임을 알 수 있습니다. 이때, \(lambda\) 와 \(mu\) 는 모두 0이 아니여야 합니다. \(lambda\) 가 0이여도 첫번째 식은 여전히 잘 정의된 고유계를 형성하지만 두번째 식은 \(mu\) 가 정의되지 않습니다. 고유 값으로 0과 무한대를 사용하기 위해 라이브러리에서 제공하는 함수들은 다음과 같은 형태의 고유 계를 풀게 됩니다.
풀이 함수들은 \(\alpha\) 와 \(\beta\) 두 값을 반환해 사용자가 \(\lambda\) 나 \(\mu\) 를 계산해 사용할 수 있게 합니다. 각각은 나눗셈을 이용해서 \(\lambda = \alpha / \beta\) 와 \(\mu = \beta / \alpha\) 로 계산할 수 있습니다.
선형 행렬 pencil \(A - \lambda B\) 의 행렬식이 모든 \(\lambda\) 에 대해 0이면 해당 고유 계는 특이성을 가집니다. 특이성을 가지는 고유 계는 \(\alpha = \beta = 0\) 를 가지게 됩니다. 이는 해당 고유 계가 제대로 정의된 고유 값과 벡터를 가지지 않음을 의미합니다. 이 단원의 함수들은 특이성을 가지지 않는 일반적인 문제들에 대한 풀이를 제공합니다. 이러한 특이 pencil 값을 가지는 문제에 함수들을 적용할 경우 예기치 못한 결과가 나올 수 있습니다.
행렬 쌍 \((A, B)\) 의 실수 위의 일반화된 비 대칭 고유 계 문제는 일반화된 슈어 분해와 관련되어 있습니다.
\(Q\) 와 \(Z\) 는 각각 좌, 우 슈어 벡터들의 직교 행렬입니다. \((S, T)\) 는 일반화된 슈어 형태로 이들의 대각 성분은 각각 \(\alpha\) 와 \(\beta\) 값들을 제공해줍니다. 이 알고리즘들은 Moler & StewartQZ 의 QZ 방법에 기반해 있습니다. (참고 문헌을 확인할 수 있습니다.)
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type gsl_eigen_gen_workspace
일반화된 비대칭 행렬의 고유 값 문제를 풀기 위한 내부 인자들을 가지고 있는 작업 공간입니다. problems.
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gsl_eigen_gen_workspace *gsl_eigen_gen_alloc(const size_t n)
n\(\times\)n크기의 실수 일반화된 비대칭 행렬의 고유 값을 찾기 위한 작업 공간을 메모리에 할당합니다. 공간의 크기는 \(O(n)\) 입니다.
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void gsl_eigen_gen_free(gsl_eigen_gen_workspace *w)
w가 가르키는 작업 공간 영역을 해제합니다.
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void gsl_eigen_gen_params(const int compute_s, const int compute_t, const int balance, gsl_eigen_gen_workspace *w)
gsl_eigen_gen()을 사용하기 위한 계수들을 설정합니다.compute_s가 1로 정해지면 완전한 슈어 형태 \(S\) 함수gsl_eigen_gen()에 의해 계산됩니다. 0이 주어지면 \(S\) 는 계산되지 않습니다. 0이 기본 설정입니다. \(S\) 는 Schur 형태로 Quasi-상 삼각 행렬입니다. Quasi-상 삼각 행렬은 블럭 상 삼각 행렬로 대각 성분이 \(1 \times 1\) 이나 \(2 \times 2\) 크기의 블럭 행렬인 행렬을 의미합니다. 이 때, \(2 \times 2\) 크기 행렬의 고유 값들은 \(A\) 행렬의 고유 값들의 켤례 복소수입니다. \(1 \times 1\) 행렬은 실수 고유 값과 대응됩니다.compute_t가 1로 정해지면 완전한 슈어 형태 \(T\) 가 함수gsl_eigen_gen()에 의해 계산됩니다. 0이 주어지면 \(T\) 는 계산되지 않습니다. 0이 기본 설정입니다. \(T\) 는 상 삼각 행렬로 대각선에 음수 값이 없는 행렬입니다. \(S\) 의 \(2 \times 2\) 크기 블럭 행렬은 \(T\) 의 \(2 \times 2\) 크기 블럭 행렬에 대응됩니다.balance값은 현재 사용되지 않습니다. 잃반화된 균형 행렬기능은 아직 구현되지 않았습니다.
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int gsl_eigen_gen(gsl_matrix *A, gsl_matrix *B, gsl_vector_complex *alpha, gsl_vector *beta, gsl_eigen_gen_workspace *w)
- 실수 위 일반화된 비대칭 행렬 쌍 (
A,B) 의 고유 값을 계산해 (
alpha,beta)에 저장합니다.alpha는 복소수,beta는 실수입니다. \(\beta_i\) 가 0이 아니라면 \(\lambda = \alpha_i / \beta_i\) 이 고유 값이 됩니다. 비슷하게 \(\alpha_i\) 가 0이 아니라면 \(\mu = \beta_i / \alpha_i\) 이 \(\mu A y = B y\) 의 고유 값이 됩니다.beta의 원소들은 모두 음수가 되지 않도록 정규화되어 있습니다.\(S\) 가 필요하다면 이 행렬은 계산이 끝난 후
A에 저장되어 있습니다. \(T\) 도 계산이 끝난 후B에 저장됩니다. (alpha,beta) 의 고유 값 순서는 슈어 형태 \(S\) 와 \(T\) 의 대각선 블럭들 순서를 따릅니다. 드문 일이지만 함수에서 모든 고유 값들을 찾지 못하는 경우가 있습니다. 이 경우 오류 값이 반환됩니다.
- 실수 위 일반화된 비대칭 행렬 쌍 (
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int gsl_eigen_gen_QZ(gsl_matrix *A, gsl_matrix *B, gsl_vector_complex *alpha, gsl_vector *beta, gsl_matrix *Q, gsl_matrix *Z, gsl_eigen_gen_workspace *w)
gsl_eigen_gen()함수와 동일합니다. 다만 좌, 우 슈어 벡터들을 계산해 각각Q와Z에 저장합니다.
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type gsl_eigen_genv_workspace
일반화된 고유 값과 고유 벡터를 계산하기 위한 내부 인자들을 가지고 있는 작업 공간입니다.
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gsl_eigen_genv_workspace *gsl_eigen_genv_alloc(const size_t n)
실수 위 크기 \(n \times n\) 의 일반화된 비 대칭 고유 계의 고유 값과 고유 벡터를 찾기 위한 작업 공간을 메모리에 할당합니다. 공간의 크기는 \(O(7n)\) 입니다.
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void gsl_eigen_genv_free(gsl_eigen_genv_workspace *w)
w가 가르키는 작업 공간 영역을 해제합니다.
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int gsl_eigen_genv(gsl_matrix *A, gsl_matrix *B, gsl_vector_complex *alpha, gsl_vector *beta, gsl_matrix_complex *evec, gsl_eigen_genv_workspace *w)
실수 위 크기 \(n \times n\) 의 일반화된 비 대칭 행렬 쌍(
A,B)의 고유 값과 우 고유 벡터를 찾습니다. 고유 벡터들은 (alpha,beta)에 저장되고 고유 벡터들은evec에 저장됩니다. 이 함수는 먼저 함수gsl_eigen_gen()를 호출해 고유 값들과 슈어 형태 그리고 슈어 벡터를 계산합니다. 그 후 슈어 형태에 대한 고유 벡터를 찾고 이들을 슈어 벡터를 이용해 역변환 시켜 원래 계의 고유 벡터들을 얻습니다. 슈어 벡터들은 계산과정에서 사용되 훼손됩니다. 함수gsl_eigen_genv_QZ()를 사용하면 별도로 저장해둘 수 있습니다. 계산된 고유 벡터는 크기 1을 가지도록 정규화 되어 있습니다. 계산 후 (A,B) 는 일반화된 슈어 형태 ( \(S\) , \(T\) )가 됩니다. 함수gsl_eigen_gen()의 구동이 실패하면 고유 벡터들은 계산되지 않고 오류 코드가 반환됩니다.
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int gsl_eigen_genv_QZ(gsl_matrix *A, gsl_matrix *B, gsl_vector_complex *alpha, gsl_vector *beta, gsl_matrix_complex *evec, gsl_matrix *Q, gsl_matrix *Z, gsl_eigen_genv_workspace *w)
gsl_eigen_genv()와 동일합니다. 다만, 좌우 슈어 벡터들을 계산해 각각Q와Z에 저장합니다.
고유 값과 벡터의 정렬
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int gsl_eigen_symmv_sort(gsl_vector *eval, gsl_matrix *evec, gsl_eigen_sort_t sort_type)
eval벡터에 저장된 고유 값과, 대응되는 실수 고유 벡터들을 동시에 정렬합니다. 해당 벡터들은 행렬evec에 열 벡터로 저장되어 있습니다.sort_type의 값에 따라 내림, 오름차순 정렬이 결정됩니다.-
type gsl_eigen_sort_t
GSL_EIGEN_SORT_VAL_ASC수치 값에 따른 오름차순 정렬
GSL_EIGEN_SORT_VAL_DESC수치 값에 따른 내림차순 정렬
GSL_EIGEN_SORT_ABS_ASC크기에 따른 오름차순 정렬
GSL_EIGEN_SORT_ABS_DESC크기에 따른 내림차순 정렬
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type gsl_eigen_sort_t
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int gsl_eigen_hermv_sort(gsl_vector *eval, gsl_matrix_complex *evec, gsl_eigen_sort_t sort_type)
eval벡터에 저장된 고유 값과, 행렬evec에 열 벡터로 저장된 복소수 고유 벡터들을 동시에 정렬합니다.sort_type의 값에 따라 내림, 오름차순 정렬이 결정됩니다. 해당 값들은 위 표에 있습니다.
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int gsl_eigen_nonsymmv_sort(gsl_vector_complex *eval, gsl_matrix_complex *evec, gsl_eigen_sort_t sort_type)
eval벡터에 저장된 고유 값과, 대응되는 복소수 고유 벡터들을 동시에 정렬합니다. 해당 벡터들은 행렬evec에 열 벡터로 저장되어 있습니다.sort_type의 값에 따라 내림, 오름차순 정렬이 결정됩니다. 해당 값들은 위 표에 있습니다. 고유 값들이 복소수이기 때문에GSL_EIGEN_SORT_ABS_ASC와GSL_EIGEN_SORT_ABS_DESC매크로만 사용 가능합니다.
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int gsl_eigen_gensymmv_sort(gsl_vector *eval, gsl_matrix *evec, gsl_eigen_sort_t sort_type)
eval벡터에 저장된 고유 값과, 대응되는 실수 고유 벡터들을 동시에 정렬합니다. 해당 벡터들은 행렬evec에 열 벡터로 저장되어 있습니다.sort_type의 값에 따라 내림, 오름차순 정렬이 결정됩니다.sort_type값은 이전 표에 기술되어 있습니다.
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int gsl_eigen_genhermv_sort(gsl_vector *eval, gsl_matrix_complex *evec, gsl_eigen_sort_t sort_type)
eval벡터에 저장된 고유 값과, 대응되는 복소수 고유 벡터들을 동시에 정렬합니다. 해당 벡터들은 행렬evec에 열 벡터로 저장되어 있습니다.sort_type의 값에 따라 내림, 오름차순 정렬이 결정됩니다.sort_type값은 이전 표에 기술되어 있습니다.
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int gsl_eigen_genv_sort(gsl_vector_complex *alpha, gsl_vector *beta, gsl_matrix_complex *evec, gsl_eigen_sort_t sort_type)
두 벡터
alpha,beta에 저장된 고유 값들과 대응 되는 복소수 고유 벡터들을 동시에 정렬합니다. 대응되는 고유 벡터들은 행렬evec에 열 벡터로 저장되어 있습니다.sort_type의 값에 따라 내림, 오름차순 정렬이 결정됩니다.sort_type값은 이전 표에 기술되어 있습니다. 고유 값들이 복소수이기 때문에GSL_EIGEN_SORT_ABS_ASC와GSL_EIGEN_SORT_ABS_DESC매크로만 사용 가능합니다.
예제
다음 프로그램은 4차 힐베르트 행렬 \(H(i,j) = 1/(i+j+1)\) 의 고유 값과 고유 벡터를 계산합니다.
#include <stdio.h>
#include <gsl/gsl_math.h>
#include <gsl/gsl_eigen.h>
int
main (void)
{
double data[] = { 1.0 , 1/2.0, 1/3.0, 1/4.0,
1/2.0, 1/3.0, 1/4.0, 1/5.0,
1/3.0, 1/4.0, 1/5.0, 1/6.0,
1/4.0, 1/5.0, 1/6.0, 1/7.0 };
gsl_matrix_view m
= gsl_matrix_view_array (data, 4, 4);
gsl_vector *eval = gsl_vector_alloc (4);
gsl_matrix *evec = gsl_matrix_alloc (4, 4);
gsl_eigen_symmv_workspace * w =
gsl_eigen_symmv_alloc (4);
gsl_eigen_symmv (&m.matrix, eval, evec, w);
gsl_eigen_symmv_free (w);
gsl_eigen_symmv_sort (eval, evec,
GSL_EIGEN_SORT_ABS_ASC);
{
int i;
for (i = 0; i < 4; i++)
{
double eval_i
= gsl_vector_get (eval, i);
gsl_vector_view evec_i
= gsl_matrix_column (evec, i);
printf ("eigenvalue = %g\n", eval_i);
printf ("eigenvector = \n");
gsl_vector_fprintf (stdout,
&evec_i.vector, "%g");
}
}
gsl_vector_free (eval);
gsl_matrix_free (evec);
return 0;
}
다음은 프로그램의 실행 결과입니다.
$ ./a.out
eigenvalue = 9.67023e-05
eigenvector =
-0.0291933
0.328712
-0.791411
0.514553
...
GNU octave 의 결과 값과 비교해 볼 수 있습니다.
octave> [v,d] = eig(hilb(4));
octave> diag(d)
ans =
9.6702e-05
6.7383e-03
1.6914e-01
1.5002e+00
octave> v
v =
0.029193 0.179186 -0.582076 0.792608
-0.328712 -0.741918 0.370502 0.451923
0.791411 0.100228 0.509579 0.322416
-0.514553 0.638283 0.514048 0.252161
참고
고유 벡터들은 부호에 의해 달라질 수 있습니다. 고유 벡터들의 부호는 무작위로 정해집니다.
다음 프로그램은 비대칭 행렬의 고유문제를 계산합니다. 이 프로그램은 \(x = (-1,-2,3,4)\) 에 대해, Vandermonde 행렬 \(V(x;i,j) = x_i^{n - j}\) 을 사용했습니다.
#include <stdio.h>
#include <gsl/gsl_math.h>
#include <gsl/gsl_eigen.h>
int
main (void)
{
double data[] = { -1.0, 1.0, -1.0, 1.0,
-8.0, 4.0, -2.0, 1.0,
27.0, 9.0, 3.0, 1.0,
64.0, 16.0, 4.0, 1.0 };
gsl_matrix_view m
= gsl_matrix_view_array (data, 4, 4);
gsl_vector_complex *eval = gsl_vector_complex_alloc (4);
gsl_matrix_complex *evec = gsl_matrix_complex_alloc (4, 4);
gsl_eigen_nonsymmv_workspace * w =
gsl_eigen_nonsymmv_alloc (4);
gsl_eigen_nonsymmv (&m.matrix, eval, evec, w);
gsl_eigen_nonsymmv_free (w);
gsl_eigen_nonsymmv_sort (eval, evec,
GSL_EIGEN_SORT_ABS_DESC);
{
int i, j;
for (i = 0; i < 4; i++)
{
gsl_complex eval_i
= gsl_vector_complex_get (eval, i);
gsl_vector_complex_view evec_i
= gsl_matrix_complex_column (evec, i);
printf ("eigenvalue = %g + %gi\n",
GSL_REAL(eval_i), GSL_IMAG(eval_i));
printf ("eigenvector = \n");
for (j = 0; j < 4; ++j)
{
gsl_complex z =
gsl_vector_complex_get(&evec_i.vector, j);
printf("%g + %gi\n", GSL_REAL(z), GSL_IMAG(z));
}
}
}
gsl_vector_complex_free(eval);
gsl_matrix_complex_free(evec);
return 0;
}
다음은 프로그램의 실행 결과입니다.
$ ./a.out
eigenvalue = -6.41391 + 0i
eigenvector =
-0.0998822 + 0i
-0.111251 + 0i
0.292501 + 0i
0.944505 + 0i
eigenvalue = 5.54555 + 3.08545i
eigenvector =
-0.043487 + -0.0076308i
0.0642377 + -0.142127i
-0.515253 + 0.0405118i
-0.840592 + -0.00148565i
...
GNU octave 의 결과 값과 비교해 볼 수 있습니다.
octave> [v,d] = eig(vander([-1 -2 3 4]));
octave> diag(d)
ans =
-6.4139 + 0.0000i
5.5456 + 3.0854i
5.5456 - 3.0854i
2.3228 + 0.0000i
octave> v
v =
Columns 1 through 3:
-0.09988 + 0.00000i -0.04350 - 0.00755i -0.04350 + 0.00755i
-0.11125 + 0.00000i 0.06399 - 0.14224i 0.06399 + 0.14224i
0.29250 + 0.00000i -0.51518 + 0.04142i -0.51518 - 0.04142i
0.94451 + 0.00000i -0.84059 + 0.00000i -0.84059 - 0.00000i
Column 4:
-0.14493 + 0.00000i
0.35660 + 0.00000i
0.91937 + 0.00000i
0.08118 + 0.00000i
참고
고유 값 \(5.54555 + 3.08545i\) 의 대응 고유 벡터는 곱 계수 \(0.9999984 + 0.0017674i\) 에 의해 다릅니다. 이 계수는 크기 1의 임의의 위상 계수입니다.
참고 자료와 추가 문헌
이 단원에 기술된 알고리즘들은 다음 책에 자세히 기술되어 있습니다.
G. H. Golub, C. F. Van Loan, “Matrix Computations” (3rd Ed, 1996), Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-5414-8.
일반화된 고유계의 QZ 알고리즘은 다음 논문을 참고할 수 있습니다.
C. Moler, G. Stewart, “An Algorithm for Generalized Matrix Eigenvalue Problems”, SIAM J. Numer. Anal., Vol 10, No 2, 1973.
큰 규모의 행렬들에 대한 고유 문제 풀이 기능들은 포트란 라이브러리 LAPACK 에서 찾을 수 있습니다. LAPACK 은 다음 문헌에 기술되어 있습니다.
LAPACK Users’ Guide (Third Edition, 1999), Published by SIAM, ISBN 0-89871-447-8.
LAPACK 의 소스코드는 사용자 설명서와 함께 http://www.netlib.org/lapack 에서 찾을 수 있습니다.