복소수

이 단원에서는 복소수를 다루기 위한 기능들을 제공합니다. 구현된 알고리즘들은 중간 과정에서 불필요한 언더플로우나 오버 플로우가 발생하지 않도록 검토함과 동시에, 가능한한 넓은 범위의 복소 평면상에서 값을 계산할 수 있도록 작성되었습니다.

다변수 함수는 Abramowitz & Stegun 1 의 규약을 따라, 분지 절단이 결정됩니다. 이 함수들은 GNU Calc 과 같은 표준 값들을 반환합니다. 이들은 “Common Lisp, The Language (Second Edition)”과 HP-28/48 계산기 시리즈에서 구현된 값들과 같습니다.

복소수 자료형은 헤더 파일 gsl_complex.h 에 선언되어 있고, 대응되는 복소수 함수들은 gsl_complex_math.h 에 정의되어 있습니다.

복소수의 표현

복소수는 gsl_complex 자료형을 통해 표현됩니다. 이 자료형의 내부 표현은 플랫폼에 따라 다양하기 때문에 직접적으로 접근해서는 안됩니다. 아래에 기술된 함수와 매크로들을 이용해 간단하게 복소수들을 제어할 수 있습니다.

gsl_complex 기본적인 형태는 다음 구조체로 정의됩니다.

type gsl_complex

typedef struct
{
        double dat[2];
} gsl_complex;

실수, 허수부는 각각 붙어 있는 배열의 두 원소에 저장됩니다. 이러한 구현은 실수, 허수부 2 사이에 간격이 없어서, 이 구조체를 복소 배열에 직접 대응시킬 수 있습니다.

만약, C 컴파일러가 C11 표준을 지원하고 <complex.h> 헤더파일을 <gsl_complex.h> 보다 먼저 포함했다면, gsl_complex C의 복소수 자료 형으로 다음과 같이 정의됩니다.

typedef double complex gsl_complex

이 방법은 gsl_complex 구조체를 사용자들이 일반 연산으로 취급할 수 있게 해줍니다.

gsl_complex x = 2+ 5*I;
gsl_complex y = x_ (3-4*I);

중요

C에 내장된 복소수 기능들은 C11 표준 이후에 지원되기 시작했습니다. <complex.h> 가 gsl_complex.h 보다 먼저 포함되었다면, GSL 라이브러리에서는 C11의 새 기능들을 이용해 GSL_REAL 과 GSL_IMAG 를 정의합니다. C99 표준에서 이러한 기능들을 정의할 수 있는 적절한 기능은 없습니다. 따라서 C99 컴파일러에서는 gsl_complex 가 C에 내장된 복소수 기능들로 정의되지 않습니다.

gcc 4.8 계열 컴파일러와 같이 몇몇 컴파일러들은 C11의 일부 기능만을 지원하는 경우도 있습니다. 이러한 컴파일러들에서는 사용자가 C의 내장 복소수 기능들을 활성화 시켜 GSL을 컴파일 할 수 없습니다. 이러한 경우 포함하는 헤더 파일 목록에서 complex.h 를 제거하거나, 컴파일러에 -DGSL_COMPLEX_LEGACY 를 넣어서 구조체에 기반해 정의된 gsl_complex 를 사용하도록 해야합니다.

복소수 매크로

다음의 C 매크로들은 복소수를 편하게 조작할 수 있게 해줍니다.

GSL_REAL(z)

GSL_IMAG(z)

이 두 매크로는 각각 복소수 z 실수, 허수부의 메모리 위치 를 반환합니다. 이 매크로를 이용해서 일반적인 연산을 복소수에 대해, 사용할 수 있습니다.

gsl_complex x, y;

GSL_REAL(x) = 4;
GSL_IMAG(x) = 2;

GSL_REAL(y) = GSL_REAL(x);
GSL_IMAG(y) = GSL_REAL(x);

다시 말해, 이 매크로를 이용해서 복소수의 실수, 허수부를 읽고, 쓸 수 있습니다.

GSL_SET_COMPLEX(zp, x, y)

데카르트 좌표 성분 ( x, y )을 포인터 zp 가 가르키는 복소수의 실수, 허수부에 저장합니다. 예를 들어서,

GSL_SET_COMPLEX(&z, 3, 4)

는 \(z\) 를 \(3 + 4i\) 로 초기화 합니다.

복소수 할당

gsl_complex gsl_complex_react(double x, double y): 직교 데카르트 좌표계 \((x,y)\) 를 이용해 \(z = x + iy\) 복소수를 반환합니다. HAVE_INLINE 을 정의하면, 인라인 형태의 함수를 사용할 수 있습니다.

gsl_complex gsl_complex_polar(double r, double theta): 극좌표 방식의 복소수 \(z = r \text{exp}(i \theta) = r (\cos (\theta) + i \sin (\theta))\) 를 주어진 ( r theta 에 대해 반환합니다.

복소수의 성질

double gsl_complex_arg(gsl_complex z): 주어진 복소수 z 편각 \(\text{arg}(z)\) 을 반환합니다. 편각 \(\text{arg}(z)\) 는, \(-\pi \leq \text{arg}(z) \leq \pi\) 의 범주를 가집니다.

double gsl_complex_abs(gsl_complex z): 주어진 복소수 z 크기, \(|z|\) 의 값을 반환합니다.

double gsl_complex_abs2(gsl_complex z): 주어진 복소수 z 크기의 제곱 \(|z|^2\) 를 반환합니다.

double gsl_complex_logabs(gsl_complex z): 주어진 복소수 z 크기에 대한 자연로그 값 \(\log(|z|)\) 을 반환합니다. \(|z|\) 의 값이 \(1\) 에 가까울 때, 정확한 값을 얻을 수 있습니다. 직접 log(gsl_complexabs(z)) 계산하는 경우 정확도를 잃을 수 있습니다.

복소수 연산자

gsl_complex gsl_complex_add(gsl_complex a, gsl_complex b): 주어진 두 복소수 a b 합, \(z=a+b\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_sub(gsl_complex a, gsl_complex b): 주어진 두 복소수 a b 차, \(z = a-b\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_mul(gsl_complex a, gsl_complex b): 주어진 두 복소수 a b 곱, \(z = a \cdot b\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_div(gsl_complex a, gsl_complex b): 주어진 두 복소수 a b 나눗셈, \(z = a/ b\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_add_real(gsl_complex a, double x): 주어진 복소수 a 실수 x 합, \(z = a + x\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_sub_real(gsl_complex a, double x): 주어진 복소수 a 실수 x 차, \(z = a - x\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_mul_real(gsl_complex a, double x): 주어진 복소수 a 실수 x 곱, \(z = a \cdot x\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_div_real(gsl_complex a, double x): 주어진 복소수 a 실수 x 나눗셈, \(z = a / x\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_add_imag(gsl_complex a, double y): 주어진 복소수 a 허수 y 합, \(z = a + y\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_sub_imag(gsl_complex a, double y): 주어진 복소수 a 허수 y 차, \(z = a - y\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_mul_imag(gsl_complex a, double y): 주어진 복소수 a 허수 y 곱, \(z = a \cdot y\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_div_imag(gsl_complex a, double y): 주어진 복소수 a 허수 y 나눗셈, \(z = a / y\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_conjugate(gsl_complex z): 주어진 복소수 z 컬레 복소수, \(z^* = x - iy\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_inverse(gsl_complex z): 주어진 복소수 z 역수, \(\frac{1}{z} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2}\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_negative(gsl_complex z): 주어진 복소수 z 덧셈 역원, \(-z = (-x) + i (-y)\) 를 반환합니다.

기초 복소 함수들

gsl_complex gsl_complex_sqrt(gsl_complex z): 주어진 복소수 z 제곱근, \(\sqrt{z}\) 의 값을 반환합니다. 분지 절단은 음의 실수축 에서 이루어집니다. 결과는 항상 복소 평면의 오른쪽 절반 영역에 위치합니다.

gsl_complex gsl_complex_sqrt_real(double x): 주어진 실수 x 복소수 제곱근을 반환합니다. x 음수일 수 있습니다.

gsl_complex gsl_complex_pow(gsl_complex z, gsl_complex a): 주어진 복소수 z a 대해, \(z^a\) 값을 반환합니다. 이 값은 복소수 로그와 지수 함수를 이용해 계산됩니다. \(\text{exp}(\log (z) \cdot a))\)

gsl_complex gsl_complex_pow_real(gsl_complex z, double x): 주어진 복소수 z 대해 주어진 실수 x 승, \(z^x\) 값을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_exp(gsl_complex z): 주어진 복소수 z 지수 값, \(\text{exp}(z)\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_log(gsl_complex z): 주어진 복소수 z 복소수 자연 로그(밑이 \(e\) 인) 값, \(\log (z)\) 를 반환합니다. 분지 절단은 음의 실수축에서 이루어집니다.

gsl_complex gsl_complex_log10(gsl_complex z): 주어진 복소수 z 대해, \(10\) 을 밑으로 가지는 로그값, \(\log_10 (z)\) 값을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_log_b(gsl_complex z, gsl_complex b): 주어진 복소수 z b 대해, b 밑으로 하는 로그에 대한 z , \(\log_b (z)\) 의 값을 반환 합니다. 이 값은 \(\frac{\log(z)}{\log(b)}\) 를 반환합니다.

복소 삼각 함수

gsl_complex gsl_complex_sin(gsl_complex z): 주어진 복소수 z sine 값, \(\sin (z) = \frac{(\text{exp}(iz) - \text{exp}(-iz))}{2i}\) 을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_cos(gsl_complex z): 주어진 복소수 z cosine 값, \(\cos (z) = \frac{(\text{exp}(iz) + \text{exp}(-iz))}{2}\) 을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_tan(gsl_complex z): 주어진 복소수 z tangent 값, \(\text{tan} (z) = \frac{\sin (z)}{\cos (z)}\) 을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_sec(gsl_complex z): 주어진 복소수 z secant 값, \(\text{sec} (z) = \frac{1}{\cos (z)}\) 을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_csc(gsl_complex z): 주어진 복소수 z 복소수 cosecant 값, \(\text{csc} (z) = \frac{1}{\sin (z)}\) 을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_cot(gsl_complex z): 주어진 복소수 z cotangent 값, \(\text{cot} (z) = \frac{1}{\text{tan}(z)}\) 을 반환합니다.

복소 역삼각 함수

gsl_complex gsl_complex_arcsin_real(double z): 주어진 복소수 z arcsine 값, \(\text{arcsin}(z)\) 을 반환합니다. 분지 절단은 실수 축 위에서 이루어지며, \(1\) 보다 크거나 \(-1\) 보다 작은 지점으로 이루어집니다.

gsl_complex gsl_complex_arcsin(gsl_complex z): 주어진 실수 z arcsine 값, \(\text{arcsin}(z)\) 의 값을 반환합니다. \(z\) 값이 \(-1\) 과 \(1\) 사이에 있을 때, \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) 사이의 값을 반환합니다. \(z\) 값이 \(-1\) 보다 작은 경우 반환 값은 실수부가 \(- \frac{\pi}{2}\) 이고 양의 허수부를 가집니다. \(z\) 가 \(1\) 보다 큰 경우 반환값은 \(\frac{\pi}{2}\) 의 실수부와 음의 허수부를 가집니다.

gsl_complex gsl_complex_arccos(gsl_complex z): 주어진 복소수 z arccosine 값 \(\text{arccos}(z)\) 의 값을 반환합니다. 분지 절단은 실수축 위에서 이루어지며, \(1\) 보다 크거나 \(-1\) 보다 작은 지점으로 이루어집니다.

gsl_complex gsl_complex_arccos_real(double z): 주어진 실수 z arccosine 값, \(\text{arcsin}(z)\) 의 값을 반환합니다. \(z\) 값이 \(-1\) 과 \(1\) 사이에 있을 때, \([0, \pi]\) 사이의 값을 반환합니다. \(z\) 값이 \(-1\) 보다 작은 경우 반환 값은 실수부가 \(\pi\) 이고 음의 허수부를 가집니다. \(z\) 가 \(1\) 보다 큰 경우 반환값은 순허수 형태를 가집니다.

gsl_complex gsl_complex_arctan(gsl_complex z): 주어진 복소수 z arctan 값, \(\text{arctan}(z)\) 을 반환합니다. 분지 절단은 허수 축 위에서 이루어지며, \(i\) 보다 크거나 \(-i\) 보다 작은 지점으로 이루어집니다.

gsl_complex gsl_complex_arcsec(gsl_complex z): 주어진 복소수 z arcsec 값, \(\text{arcsec}(z) = \text{arccos}(\frac{1}{z})\) 을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_arcsec_real(double z): 주어진 실수 z arcsec 값, \(\text{arcsec}(z) = \text{arccos}(\frac{1}{z})\) 을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_arccsc(gsl_complex z): 주어진 복소수 z arccsc 값, \(\text{arccsc}(z) = \text{arcsin}(\frac{1}{z})\) 을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_arccsc_real_real(double z): 주어진 실수 z arccsc 값, \(\text{arccsc}(z) = \text{arcsin}(\frac{1}{z})\) 을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_arccot(gsl_complex z): 주어진 복소수 z arccot 값, \(\text{arccot}(z) = \text{arctan}(\frac{1}{z})\) 을 반환합니다.

복소 쌍곡 함수

gsl_complex gsl_complex_sinh(gsl_complex z): 주어진 복소수 z sinh 값, \(\text{sinh}(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}\) 을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_cosh(gsl_complex z): 주어진 복소수 z cosh 값, \(\text{cosh}(z) = \frac{e^z + e^{-z}}{2}\) 을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_tanh(gsl_complex z): 주어진 복소수 z tanh 값, \(\text{tanh}(z) = \frac{\text{sinh}(z)}{\text{cosh}(z)}\) 을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_sech(gsl_complex z): 주어진 복소수 z sech 값, \(\text{sech}(z) = \frac{1}{\text{sinh}(z)}\) 을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_csch(gsl_complex z): 주어진 복소수 z csch 값, \(\text{csch}(z) = \frac{1}{\text{cosh}(z)}\) 을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_coth(gsl_complex z): 주어진 복소수 z coth 값, \(\text{coth}(z) = \frac{\text{cosh}(z)}{\text{sinh}(z)}\) 을 반환합니다.

복소 역쌍곡 함수

gsl_complex gsl_complex_arcsinh(gsl_complex z): 주어진 복소수 z arcsinh 값, \(\text{arcsinh}(z)\) 를 반환합니다. 분지 절단은 허수축 위에서 이루어지며, \(-i\) 밑 그리고 \(i\) 위 입니다.

gsl_complex gsl_complex_arccosh(gsl_complex z): 주어진 복소수 z arccosh 값, \(\text{arccosh}(z)\) 를 반환합니다. 분지 절단은 실수축 위에서 이루어지며, \(-1\) 밑입니다. 한가지 알아두어야 할 점은 Abramowitz & Stegun의 4.6.21식에 있는 음수 근을 사용한다는 점입니다. 해당식은 \(\text{arccosh}(z) = \log(z- \sqrt{z^2 -1})\) 입니다.

gsl_complex gsl_complex_arccosh_real(double z): 주어진 실수 z 대해, arccosh 값, \(\text{arccosh}(z)\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_arctanh(gsl_complex z): 주어진 복소수 z arctanh 값, \(\text{arctanh}(z)\) 를 반환합니다. 분지 절단은 실수축 위에서 이루어지며, \(-1\) 밑 그리고 \(1\) 위 입니다.

gsl_complex gsl_complex_arctanh_real(double z): 주어진 실수 z 대해, arctanh 값, \(\text{arctanh}(z)\) 를 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_arcsech(gsl_complex z): 복소수 z 대해, arcsech 값 \(\text{arcsech}(z) = \text{arccosh}(\frac{1}{z})\) 값을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_arccsch(gsl_complex z): 복소수 z 대해, arccsch 값 \(\text{arccsch}(z) = \text{arcsinh}(\frac{1}{z})\) 값을 반환합니다.

gsl_complex gsl_complex_arccoth(gsl_complex z): 복소수 z 대해, arccoth 값 \(\text{arccoth}(z) = \text{arctanh}(\frac{1}{z})\) 값을 반환합니다.

참고 문헌과 추가 자료

기초 함수들과 삼각 함수들의 구현체들은 다음의 논문에 기반해 만들어졌습니다.

T. E. Hull, Thomas F. Fairgrieve, Ping Tak Peter Tang, “Implementing Complex Elementary Functions Using Exception Handling”, ACM Transactions on Mathematical Software, Volume 20 (1994), pp 215-244, Corrigenda, p553
T. E. Hull, Thomas F. Fairgrieve, Ping Tak Peter Tang, “Implementing the complex arcsin and arccosine functions using exception handling”, ACM Transactions on Mathematical Software, Volume 23 (1997) pp 299-335

일반 식들과 분지점은 다음의 책들을 참고할 수 있습니다.

Abramowitz & Stegun, Handbook of Mathematical Functions, “Circular Functions in Terms of Real and Imaginary Parts”, Formulas 4.3.55-58, “Inverse Circular Functions in Terms of Real and Imaginary Parts”, Formulas 4.4.37-39, “Hyperbolic Functions in Terms of Real and Imaginary Parts”, Formulas 4.5.49-52, “Inverse Hyperbolic Functions—relation to Inverse Circular Functions”, Formulas 4.6.14-19.
Dave Gillespie, Calc Manual, Free Software Foundation, ISBN 1-882114-18-3

각주

1: 미국 표준 기술 연구소에서 Milton Abramowitz와 Irene Stegun이 편집한 수학 문헌으로 수식, 그래프 및 수학표를 포함하는 수학 함수 핸드북입니다(*).
2: dat[0] dat[1]